Tartalom
- szakaszában
- Először
- 1. módszer Próba és hiba alapján jár el
- 2. módszer Elbontás útján
- 3. módszer A "hármas játék"
- 4. módszer Két négyzet különbsége
- 5. módszer A kvadratikus képlet használata
- 6. módszer Számológép használata
A polinom egy adott teljesítményre emelt változóból (x) áll, amelyet a polinom fokának neveznek, és sok más alsó fokú kifejezésből és / vagy más állandókból. A második fokú polinom faktorizálásához (más néven "kvadratikus egyenletnek") azt kell érteni, hogy a kiindulási kifejezést egy kisebb fokú kifejezések termékére redukáljuk, amelyeket azután meg lehet szorozni egymással. Ez az ismeret a középiskolai kurzus része és így tovább, ezért ezt a cikket nehéz lehet megérteni, ha még nem rendelkezik a matematika előírt szintjével.
szakaszában
Először
-
Írja be kifejezését. A második fokú egyenlet standard formája:ax + bx + c = 0
Kezdje úgy, hogy az egyenlet feltételeit a hatalom sorrendje szerint rendezi, a legnagyobbtól a legkisebbig, mint a normál formában. Vegyük például:6 + 6x + 13x = 0
Ezt a kifejezést úgy szerkesztjük át, hogy megkönnyítsük a munkát:6x + 13x + 6 = 0. -
Keresse meg a tényleges formát az alább ismertetett módszerek egyikével. A faktorizáció két rövidebb kifejezést ad, amelyek megadják a kezdeti polinomot, ha szorozjuk őket egymással:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Ebben a példában (2x +3) és (3x + 2) jelentése tényezők a kezdeti kifejezés 6x + 13x + 6. -
Ellenőrizze a munkáját! Szorozzuk meg az azonosított tényezőket. Ezután kombinálja a hasonló kifejezéseket, és kész lesz. Kezdje:(2x + 3) (3x + 2)
Kezdjük ezt a kifejezést tesztelni, a két kifejezés kifejezéseit megszorozzuk, hogy megkapjuk:6x + 4x + 9x + 6
Innentől hozzáadhatunk 4x és 9x, mert azonos fokú kifejezések. Akkor tudjuk, hogy tényezőink helyesek, mivel jól befolyásoljuk az indulás kifejezését:6x + 13x + 6.
1. módszer Próba és hiba alapján jár el
Ha egy meglehetősen egyszerű polinommal foglalkozik, akkor egy pillanat alatt képesnek kell lennie annak bomlására mint tényező termékre. Például sok matematikus látja ezt a kifejezést 4x + 4x + 1 szokás szerint és tapasztalatok alapján adja meg a (2x + 1) és (2x + 1) tényezőket (nyilvánvalóan, ez nem olyan egyszerű komplex polinomok esetén). Ebben a példában vegyünk egy kevésbé általános kifejezést:
.
-
Készítsen egy együttható tényezőket van és c. Az űrlap kifejezésének felhasználásával ax + bx + c = 0, azonosítsa az együtthatókat van és c és sorolja fel a megfelelő tényezőket. 3x + 2x - 8 esetén:a = 3, és csak egy pár tényezővel rendelkezik: 1 * 3 c = -8 és négy tényezőpár: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 és -1 * 8 .. -
Írjon a papírlapjára két pár zárójelben helyet, hogy beírhassa őket. Az egyes kifejezések állandóit beírja a megadott helyre:(x) (x). -
Az x elõtt írjon be egy pár lehetséges tényezõt az együtthatóra van. Az együtthatóra van a 3x példánkban csak egy lehetőség van:(3x) (1x). -
Ezután töltse ki a fennmaradó két üres teret pár tényezővel az együtthatóhoz c. Vegyük például a 8. és az 1. példát. Írjuk le őket:(3x8) (X1). -
Döntse el most a jelet (több vagy kevesebb) az x és az utána megadott szám közé helyezni. Az eredeti kifejezés jele szerint meg lehet találni, hogy mi legyen a konstansok jele. hívás h és k tényezőink állandói:Ha ax + bx + c, akkor (x + h) (x + k) Ha ax - bx - c vagy ax + bx - c, akkor (x - h) (x + k) Ha ax - bx + c, akkor (x - h) (x - k)
Példánkban, 3x + 2x - 8, a táblákat a következő módon kell elhelyezni: (x - h) (x + k), amely a következő két tényezőt adja:(3x + 8) és (x - 1). -
Ellenőrizze a tényleges formáját az újjáépítésével. Az első gyorsteszt annak ellenőrzése, hogy a középtáv megfelelő-e. Ha x nem jó, akkor valószínűleg rossz tényezőt választott az együtthatóhoz c. Ellenőrizzük eredményeinket:(3x + 8) (x - 1)
Szorzással megkapjuk:3x - 3x + 8x - 8
A (3x) és (8x) hasonló kifejezések hozzáadásával a kifejezés egyszerűsítése érdekében a következőket kapjuk:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Most már tudjuk, hogy valószínűleg hibás tényezőket azonosítottunk:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Ha szükséges, cserélje ki a választott tényezőket. Példánkban próbáljuk meg a 2. és a 4. helyett az 1. és a 8. helyet:(3x + 2) (x - 4)
Most az együtthatónk c -8, de a szorzatok (3x * -4) és (2 * x) -12x és 2x-et adnak, amelyek ezen kívül nem mindig adják meg a b, vagyis + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Ha szükséges, fordítsa meg a sorrendet. Példainkban megfordítjuk a 2. és a 4. helyet:(3x + 4) (x - 2)
Most az együttható c mindig jó, de az x kifejezések együtthatói megérdemelik ezt az időt -6x és 4x. Hozzáadás után ez adja a következőket:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Nagyon közel állunk a 2x kezdeti értékéhez, amelyet meg akarunk találni, de a jel nem jó. -
Ha szükséges, ellenőrizze újra a táblákat. Most ugyanazt a sorrendet fogjuk tartani, de kicseréljük a jeleket:(3x - 4) (x + 2)
Az előző együttható c mindig jó, és az x-ben szereplő kifejezések már megérdemelik a (6x) és a (-4x) értékeket. mert:6x - 4x = 2x 2x = 2x Szóval megkapjuk azt a 2x-et, amely eredetileg volt. Tehát valószínűleg megtaláltuk a megfelelő tényezőket.
2. módszer Elbontás útján
Ez a módszer lehetővé teszi az együtthatók megszerzéséhez szükséges összes tényező azonosítását van és c és használja őket a megfelelő tényezők azonosításához. Ha a szám nagyon nagy, vagy ha a többi próba és hiba módszer túl hosszúnak tűnik, akkor ezt a módszert használhatja. Vegyük a következő példát:
.
-
Szorozzuk meg az együtthatót van együtthatóval c. Példánkban van értéke 6 és c szintén 6-mal egyenlő.6 * 6 = 36. -
Keresse meg az együtthatót b faktorozással, majd a kapott tényezők tesztelésével. Két számot keresünk, amelyek a termék tényezői van * c amelyet azonosítottunk és amelynek összege megéri a "b" együttható értékét (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Mutassa be a két számot, amelyet éppen kapott az egyenletébe; tegye őket az x elé, úgy, hogy összegük megegyezzen az együtthatóval b. Vegyük a leveleket k és h a kapott két szám, a 4. és a 9. ábrája:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Faktorolja a polinomját csoportosítással. Szerkessze az egyenletet úgy, hogy megtalálja az első két kifejezés legnagyobb közös tényezőjét és az utolsó két kifejezés legnagyobb közös tényezőjét. Ezután két azonos tényezőből álló összeget kell beszereznie. Összegezzük a két együtthatót, és tegyük zárójelbe a tényleges alakzat elé; akkor megkapja a két tényezőjét:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
3. módszer A "hármas játék"
Ez a módszer nagyon hasonlít az előzőhöz. Ez az együtthatók szorzatainak lehetséges tényezőinek vizsgálatát foglalja magában van és c, majd használja őket a (z) érték megállapításához b. Vegyük például a következő egyenletet:
-
Szorozzuk meg az együtthatót van együtthatóval c. A bomlásmódhoz hasonlóan ez segít beazonosítani az együttható lehetséges jelölteit b. Példánkban van értéke 8 és c 2-t ér.8 * 2 = 16. -
Keresse meg azokat a két számot, amelyek szorzata a korábban talált szám (16), és amelyek összege adja a „b” együtthatót. Ez a lépés megegyezik a bomlási módszerrel - vagyis teszteljük és elutasítjuk a konstans jelölteket. Az együtthatók szorzata van és c egyenlő 16-val és az együtthatóval c értéke 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Vegye ki ezt a két számot, és cserélje ki őket a "hármas játék" képletre. Vegye ki az előző lépés két számát - hívjuk őket h és k - és ismertesse őket a következő kifejezéssel:((ax + h) (ax + k)) / a
Ezután kapjuk:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Keresse meg a számlálóban szereplő zárójel kifejezéseket, amelyek oszthatók az együtthatóval van. Ebben a példában teszteljük, hogy a (8x + 8) vagy a (8x + 2) osztható-e 8-val. (8x + 8) osztható 8-val, akkor ezt a kifejezést van és hagyja a másik kifejezést úgy, ahogy van.(8x + 8) = 8 (x + 1)
A kifejezés, amelyet itt tartunk, az marad, miután megosztottuk az együtthatóval van : (x + 1). -
Keresse meg - ha van - nagyobb közös tényezőt mindkét zárójelben. Példánkban a második kifejezés nagyobb közös tényezője 2, mivel 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinálja ezt a választ az előző lépésben talált kifejezéssel. Így megtalálta a polinom két tényezőjét.2 (x + 1) (4x + 1).
4. módszer Két négyzet különbsége
A polinomok bizonyos együtthatóit "négyzetekként" lehet azonosítani, azaz két szám szorzásának szorzataként. Ezeknek a négyzeteknek az azonosításával sok polinomot sokkal gyorsabban tényezhet be. Vegyük például az egyenletet:
-
Kezdje azzal, hogy mindent egy nagyobb közös tényezővé alakít, ha lehetséges. Példánkban a 27. és a 12. ábrát látjuk, amelyek mindkettőre oszthatók 3-mal, tehát a következőképpen „felszakíthatjuk” a kezdeti kifejezést:27x-12 = 3 (9x-4). -
Határozza meg, hogy az egyenlet koefficiensei négyzetből állnak-e. Ennek a módszernek a használatához képesnek kell lennie arra, hogy négyzetgyökereket keressen együtthatóinak (vegye figyelembe, hogy nem veszünk figyelembe negatív jeleket - mivel négyzetekkel foglalkozunk, ezek lehetnek két pozitív szám vagy negatív)9x = 3x * 3x és 4 = 2 * 2. -
Írja le tényezőit a talált négyzetgyökerekkel. Vegye figyelembe az van és c korábban talált - van = 9 és c = 4 - mielőtt megtalálnák a négyzetgyökét - √van = 3 és √c = 2. Ezek lesznek a tényleges kifejezések együtthatói:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
5. módszer A kvadratikus képlet használata
Ha a fenti módszerek mindegyike kudarcot vallott, és nem találja meg a megfelelő tényezőket az egyenletéhez, akkor használja a másodlagos képletet. Vegyük a következő példát:
-
Vegye ki az "a", "b" és "c" együtthatókat és cserélje ki őket a következő másodlagos képletben:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Ezután a következő kifejezést kapjuk:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Oldja meg az egyenletet és keresse meg az x értéket. Mint láthatja fent, két x értéket kell kapnia:
x = -2 + √ (3) vagy x = -2 - √ (3). -
Az x értékével keresse meg a tényezőket. Írja be a korábban kapott x értékeket a két polinom kifejezés állandójaként. Ezek lesznek a tényezőid. hívás h és k írja be az x értékeit, és írja be a két tényezőt:(x - h) (x - k)
Ebben az esetben a végeredmény:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
6. módszer Számológép használata
Ha megengedi magának a grafikonos számológép használatát, akkor vegye figyelembe, hogy ez nagyban megkönnyíti a feladat elvégzését, különösen a vizsgák során. Ezek az utasítások csak a Texas Instrument márka grafikus számológépeire vonatkoznak. Vegyük például a következő egyenletet:
-
Írja be egyenletét a számológépbe. A „feloldó egyenletet”, azaz a képernyőt kell használnia. -
Készítsen egyenletét grafikusan a számológépen. Az egyenlet beírása után nyomja meg -, akkor látnia kell a görbe grafikus ábrázolását (pontosabban, egy "ív" lesz, mert polinomokon dolgozik). -
Keresse meg az ív és az x tengely metszéspontját (x). Mivel a polinomi egyenleteket hagyományosan az alábbi formában írják: ax + bx + c = 0, ezek az x két értéke, amelyek kifejezése nulla:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Ha nem tudja megoldani azokat az értékeket, ahol a görbe keresztezi az x tengelyt, nyomja meg, majd. Nyomja meg vagy válassza a "nulla" lehetőséget. Mozgassa a kurzort az egyik kereszteződés bal oldalán, és nyomja meg a gombot. Ezután mozgassa a kurzort ebből a metszéspontból jobbra, és nyomja meg ismét. Ezután mozgassa a kurzort a lehető legközelebb a kereszteződéshez, és nyomja meg ismét. A számológép megtalálja x értékét. Ugyanezt tegye a következő kereszteződésnél.
-
Végül vezesse be az előző lépésben kapott x értékeket egy kétfaktoros kifejezésbe. Ha felhívunk h és k két x értékünket, akkor a következő kifejezést fogjuk használni:(x - h) (x - k) = 0
Tehát a következő két tényezőt kapjuk:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Egy ceruza
- papír
- Másodfokú egyenlet (vagy kvadratikus egyenlet)
- Grafikus számológép (opcionális)